যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা ৩১১ এবং ৪১৯ কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে ২৩ অবশিষ্ট থাকে তাদের সেট কোনটি?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত সমস্যা অনুযায়ী, আমাদের এমন একটি স্বাভাবিক সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে যা দিয়ে ৩১১ এবং ৪১৯ কে ভাগ করলে উভয় ক্ষেত্রেই ২৩ অবশিষ্ট থাকে।

গণিতের নিয়ম অনুযায়ী, যদি কোনো সংখ্যা \(N\) কে অন্য একটি সংখ্যা \(d\) দ্বারা ভাগ করা হয় এবং ভাগশেষ \(r\) থাকে, তবে \(N - r\) সংখ্যাটি \(d\) দ্বারা সম্পূর্ণভাবে বিভাজ্য হবে। এছাড়াও, বিভাজক \(d\) অবশ্যই ভাগশেষ \(r\) এর চেয়ে বড় হতে হবে (অর্থাৎ, \(d > r\))।

এই নিয়মটি প্রয়োগ করে আমরা পাই:

    
• \(৩১১ - ২৩ = ২৮৮\)
    
• \(৪১৯ - ২৩ = ৩৯৬\)

সুতরাং, নির্ণেয় সংখ্যাটি ২৮৮ এবং ৩৯৬ এর একটি সাধারণ উৎপাদক (common divisor) হবে। একইসাথে, সংখ্যাটি ২৩ এর চেয়ে বড় হতে হবে।

এখন, ২৮৮ এবং ৩৯৬ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (GCD) নির্ণয় করি, কারণ সাধারণ উৎপাদকগুলো গ.সা.গু. এর উৎপাদক হবে।

মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:

    
• \(২৮৮ = ২ \times ১৪৪ = ২^২ \times ৭২ = ২^৩ \times ৩৬ = ২^৪ \times ১৮ = ২^৫ \times ৯ = ২^৫ \times ৩^২\)
    
• \(৩৯৬ = ২ \times ১৯৮ = ২^২ \times ৯৯ = ২^২ \times ৩ \times ৩৩ = ২^২ \times ৩^২ \times ১১\)

২৮৮ এবং ৩৯৬ এর গ.সা.গু. হবে সাধারণ মৌলিক উৎপাদকগুলোর সর্বনিম্ন ঘাতের গুণফল:

\(গ.সা.গু. = ২^{\text{min}(৫,২)} \times ৩^{\text{min}(২,২)}\)

\( = ২^২ \times ৩^২\)

\( = ৪ \times ৯\)

\( = ৩৬\)

গ.সা.গু. ৩৬ হওয়ায়, ২৮৮ এবং ৩৯৬ এর সাধারণ উৎপাদকগুলো হবে ৩৬ এর উৎপাদকসমূহ।

৩৬ এর উৎপাদকসমূহ হলো: ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৯, ১২, ১৮, ৩৬।

শর্তানুযায়ী, নির্ণেয় সংখ্যাটি অবশ্যই ভাগশেষ ২৩ এর চেয়ে বড় হতে হবে। ৩৬ এর উৎপাদকসমূহের মধ্যে শুধুমাত্র ৩৬ সংখ্যাটিই ২৩ এর চেয়ে বড়।

অতএব, নির্ণেয় সেটটি হলো {৩৬}।

💡 শর্টকাট টেকনিক (অপশন টেস্ট):

প্রদত্ত অপশনগুলো থেকে সরাসরি পরীক্ষা করে দেখা যেতে পারে যে কোন সংখ্যাটি উভয় ক্ষেত্রে ২৩ ভাগশেষ দেয় এবং ২৩ এর চেয়ে বড়।

    
• অপশন ১: {৪৮}         
              
  • ৩১১ কে ৪৮ দিয়ে ভাগ করলে: \(৩১১ \div ৪৮ = ৬\) (ভাগফল) এবং \(২৩\) (ভাগশেষ)  \((৬ \times ৪৮ = ২৮৮; ৩১১ - ২৮৮ = ২৩)\)
              
  • ৪১৯ কে ৪৮ দিয়ে ভাগ করলে: \(৪১৯ \div ৪৮ = ৮\) (ভাগফল) এবং \(৩৫\) (ভাগশেষ)  \((৮ \times ৪৮ = ৩৮৪; ৪১৯ - ৩৮৪ = ৩৫)\)
              
  • যেহেতু একটি ক্ষেত্রে ভাগশেষ ৩৫ আসে, এটি সঠিক নয়।
          
      
    
• অপশন ২: {৩৬}         
              
  • ৩১১ কে ৩৬ দিয়ে ভাগ করলে: \(৩১১ \div ৩৬ = ৮\) (ভাগফল) এবং \(২৩\) (ভাগশেষ)  \((৮ \times ৩৬ = ২৮৮; ৩১১ - ২৮৮ = ২৩)\)
              
  • ৪১৯ কে ৩৬ দিয়ে ভাগ করলে: \(৪১৯ \div ৩৬ = ১১\) (ভাগফল) এবং \(২৩\) (ভাগশেষ) \((১১ \times ৩৬ = ৩৯৬; ৪১৯ - ৩৯৬ = ২৩)\)
              
  • উভয় ক্ষেত্রে ২৩ ভাগশেষ থাকে এবং ৩৬ > ২৩। সুতরাং, এটি সঠিক উত্তর।
          
      

যেহেতু আমরা সঠিক উত্তর পেয়ে গেছি, অন্য অপশনগুলো পরীক্ষা করার প্রয়োজন নেই।